Впрочем, на базе древнего примера можно построить тоже "чистый", недекративный пример, надо только ввести особое дополнительное "дано".

Пример такой. Дано, что на Крите живут только два типа людей: лжецы, всегда говорящие ложь, и правдолюбцы, всегла говорящие правду. Эпаминонд из Крита сказал: "Я - из критских лжецов". Правда ли это?

Если он из критских лжецов, то он лжет всегда, следовательно, и сейчас. Значит, он на самом деле не из критских лжецов.
Но если он не из критиских лжецов, то он из критиских правдолюбцев, следовательно, он всегда, то есть и сейчас тоже, говорит правду. То есть он - из критиских лжецов. Но если он из критских лжецов...

***

Надо сказать, что если не ставить себе целью кольцевой парадокс, а ограничиться желанием того, чтобы из посылки вытекала ее противоположность (то есть ограничиться стандартным приведением следствия к противоречию с посылкой) то древний пример сгодится не только как декоративный. "Эпаминонд сказал: я всегда лгу. Но если он действительно всегда лжет, то он лжет и сейчас, то есть на самом деле он не всегда лжет". Это "не всегда лжет", однако, и окажется конечным ответом - его к противоречию с уже ни с чем не приведешь (он лжет не всегда, но иногда лжет, и солгал, в частности, сейчас, говоря, что лжет всегда).

(Reply) (Thread)

Классический теоретикомножественный парадокс, перенесённый на лингвистическую почву? Красиво :)

(Reply) (Thread)

Ну, тут вроде нет особого парадокса. Просто существуют слова, не принадлежащие ни к одному из этих множеств (гетерологические, гомологические). Как-то так.

(Reply) (Thread)

Ну да. Вот, например, "устный" или "громкий".

Двоичная Булева логика вообще не всегда работает, это не ново.

(Reply) (Parent) (Thread)

Так просто, по-моему, не получится: дело в том, что когда одно из множеств определяется просто как множество всех слов, не входящих в первое множество, третья возможность помышлена непротиворечиво быть не может. Здесь ведь одно множество определяется как множество слов, имеющих некий признак А, а другое множество слов - как множество всех слов, не имеющих этого признака, то есть как множество всех слов, не входящих во множество А. Слов, не принадлежащих ни к одному из этих двух множеств, тем самым логически вообще не может быть.

(Reply) (Parent) (Thread)

Это смотря как понимать "признак". Упомянутый Вами "парадокс лжеца" по умолчанию предполагает, что существуют только два состояния: "всегда лгу" и "всегда говорю правду". На самом деле есть еще и третье - "иногда лгу, а иногда говорю правду". То есть двоичная логика опять же не работает.

И с парадоксом Греллинга (так, по-моему, он называется) та же история. Есть слова, имеющие признак А, есть слова, его не имеющие, а есть слова, о которых нельзя сказать, имеют они его или нет. Например, "неблагозвучный". Благозвучно это слово или нет? Это уж кто как посмотрит. То есть слова, о которых нельзя сказать, рекурсивные они или нерекурсивные, очень даже могут быть.

И еще. Насколько я знаю, логики считают, что всякий естественный язык внутренне противоречив, так как мы используем одни и те же слова, говоря о внеязыковой реальности ("Идет дождь") и о самом языке ("Верно, что идет дождь"). А непротиворечиво говорить о языке можно только на языке более высокого уровня (метаязыке). И это устраняет все семантические парадоксы.

Впрочем, я не специалист, и, честно говоря, сам понимаю эти тонкости довольно смутно. Тут надо быть математиком, а математика ведь сама по себе парадоксальна и алогична.

(Reply) (Parent) (Thread)

"Это смотря как понимать "признак". Упомянутый Вами "парадокс лжеца" по умолчанию предполагает, что существуют только два состояния: "всегда лгу" и "всегда говорю правду". На самом деле есть еще и третье - "иногда лгу, а иногда говорю правду". То есть двоичная логика опять же не работает".

Она работает и тут, - либо истинно высказывание "я всегда лгу" (А), либо истинно высказывание "нет такого, что я всегда лгу" (Б), третьего не дано. "Я всегда говорю правду" является частным случаем варианта "нет такого, что я не всегда лгу" (далее частный случай Б1), другим частным случаем того же варианта является "я иногда говорю правду, а иногда лгу" (Б2). Игра слов (но не настоящий парадокс) здесь может быть основана на том, что в разговорном языке фраза "я не всегда лгу" понимается как исключительно второй из этих частных случаев, но дословно может обозначать оба вместе, а в противопоставлении фразе "я всегда лгу" может восприниматься "с ходу" как обозначение, наоборот, _только_ первого из упомянутых выше частных случаев Б1 и Б2.

"Парадокс лжеца" в формулировке "я всегда лгу" действительно не является настоящим парадоксом, так как мгновенно находит разрешение в "я иногда лгу, а иногда не лгу, и вот говоря, что я лгу всегда, я как раз солгал". Настоящим парадоксом он может показаться только на первый взгляд, пока, как Вы справедливо отметили, учитываются только две опции - "я всегда лгу" и "я всегда/никогда не лгу" - за счет вышеуказанной игры слов.

Но вот если этот парадокс перевести в форму "я лгу сейчас" = "говоря, что я лгу, я лгу в этом самом высказывании" - то он станет настоящим парадоксом, так как единичное предикативное высказывание действительно может быть либо ложным, либо истинным (в рамках обычной логики). Иное дело, что это достигается за счет того, что высказывание теряет реальное смысловое наполнение (см. выше по треду), употребляя глаголд "лгать" не по назначению .

А вот парадокс с рекурсивными словами - истинный парадокс, см. ниже по треду разъяснения a_jelly. Как и, скажем, деление на ноль. Ликвидировать этот парадокс можно только за счет введения дополнительных волевых ограничений.


"А непротиворечиво говорить о языке можно только на языке более высокого уровня (метаязыке). И это устраняет все семантические парадоксы".

Дело в том, что тут парадокс (если брать его в чистой форме, с рекурсивными словами, а не в древней форме "я всегда лгу") не семантический, не основанный на игре слов, а настоящий. Выйти из него можно только за счет волюнтарного запрета задавать множества чисто негативными характеристиками или за счет столь же волюнтарного введения особой категории "не ложных и не истинных высказываний", причем помыслить непротиворечиво нельзя оба эти хода.Как, впрочем, и понятие площади фигуры нельзя непротивооречтво помылить (бесконечная сумма нулевых площадей, то есть точек , дает различные конечные площади".

(Reply) (Parent) (Thread)

Ну да. А разве можно помыслить канторовскую равномощность отрезка и квадрата? Сам Кантор писал: "Я вижу это, но я в это не верю". Увы или к счастью, но человеческий разум весьма ограничен - однако не настолько, чтобы не быть способным осознать собственную ограниченность.

(Reply) (Parent) (Thread)

Совершенно верно.

(Reply) (Parent) (Thread)

С таким подходом будет несколько проблем: во-первых, если мы зафиксируем некое свойство A, то множество обьектов с ~A (отрицание A) будет неперечеслимо. Иными словами, мы не сможем дать конструктивного алгоритма его построения. Во-вторых, нельзя оперировать с множеством, предварительно его не построив (на каком-то определенном шаге). Ну и в-третьих, закон исключенного третьего, не всегда оказывается применим.
В логическом плане (как и в парадоксе Рассела) проблем не возникает.

(Reply) (Parent) (Thread)

Не спорю. Но обратите внимание на то, что эти ограничения, как и введение основного понятия о конечных расстояниях или запрет делить на ноль, непротиворечиво помышлены быть не могут.

(Reply) (Parent) (Thread)

Вы во многом правы. Но все же, тут нет драмы.
Я утещаю себя следующим образом: математика (и логика) это науки о человеческой психике. О некоторых ее закономерностях. Случается так, что представления об очевидности или противоречивости эволюционируют. Причем, как в рамках одной головы, так и в рамках социума что ли...

Т.е. к примеру, в десятом классе, мои представления о непротиворечивости отличались от сегодняшних. Так же и в математике - отвергнуть "Tertium non datur" или пятый постулат Евклида для математиков 17 века было сродни крамоле, а сейчас - это общее место.

Отчего это так? Все дальше забираясь в дебри своих извилин, мы разыскиваем все более "надежные основания". Это неизбежно, коль скоро мы начали думать в эту сторону. Хочется делить на 0, но тогда оказывается, что 1=2 и все такое. Чего жальче? Так же и с аксиома тикой. "Не интуитивные" запреты одного рода, призваны на самом деле оградить нас от других, еще более безумных парадоксов.

Повторюсь, этот процесс вполне осознаваем и одним человеком. Т.е. "противоречивые" и "странные" ограничения, которые я отвергал раньше, сейчас кажутся мне весьма разумными, потому что без них мозг слетит с катушек еще быстрее!

Собственно, все страдания математиков и логиков в области аксиоматики и есть попытка сохранить некий разумный [шаткий?] баланс между очевидным и неочевидным. Как-то так.

(Reply) (Parent) (Thread)

"Т.е. к примеру, в десятом классе, мои представления о непротиворечивости отличались от сегодняшних. Так же и в математике - отвергнуть "Tertium non datur" или пятый постулат Евклида для математиков 17 века было сродни крамоле, а сейчас - это общее место".

Так я с Вами совершенно согласен. Непротиворечивость-в-помышлении - это самоочевидный догмат для греческих философов, и то не всех. Нормальный же здравый смысл подсказывает, что ничего страшного в неких конечных противоречиях нет. Поскольку ощущение "противоречия" определяется свойствами нашего сознания, а они адекватны только соизмеримой с нами части реальности. Поэтому нет ничего странного, если при обращении к бесконечностям или ко множествам, задаваемым только негативной характеристикой, как ни верти, а получается противоречие. Греки в сво время сообразили, что наше мышление есть прибор, точно так же, как приборы - глаза, руки и амперметры. Но они с ходу решили, что этот прибор не может иметь тех не _обязательных_ сбоев, какие имеют все прочие приборы. поэтому если глазом, как ни верти, чего-то не увидишь, их в отчаяние это не повергало и не вело к заключению, что этого "чего-то" не существует. А вот если какой-то вопрос, как ни верти, не может получать ответа, ощущаемого как непротиворечивый (иначе как за счет волюнтарных постановлений типа: "Да, сумма бесконечного количества нулевых площадей может быть и 5 кв. м, и 2 кв. м, и вообще какая хошь, и не трудись себе представлять, как это, а просто запомни, что это так)", - то греческие ученые страшно беспокоились и считали, что что-то тут не так, и докопаться до непротиворечивого ответа на самом деле обязательно можно и нужно. Современная же физика логике отводит подобающее место, но аксиомы генерирует, отталкиваясь от опыта - как бы ни оказывалось, если подумать, непомышляемым, что на белом свете так-таки есть конечные множественные объекты.

"Не интуитивные" запреты одного рода, призваны на самом деле оградить нас от других, еще более безумных парадоксов.

Совершенно верно.

(Reply) (Parent) (Thread)

Можно вам вопросы по истории позадавать? :)

Скажите, насколько обосновано мнение о том, что система варн была введена ариями в Индии из расовых соображений, т.е. в шудры и чандалы были зачислены все неарийцы и только неарийцы?

Насколько обосновано мнение (якобы исходящее от французского историка Шюре) о крупых межрасовых войнах европеоидов и негроидов в конце неолита около 20-10 тысяч лет днэ, связанных с постледниковой миграцией?

Якобы дольмены в Бретани и у нас под Геленджиком были оборонительными сооружениями той войны, а прототигриды-дошумеры были одними из тех негроидов.

Насколько вообще Шюре является актуальным источником?

(Reply) (Thread)